File:01-100-Eck-Quadratrix.svg
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Description01-100-Eck-Quadratrix.svg |
Deutsch: 100-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
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Date | |
Source | Own work |
Author | Petrus3743 |
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![]() Hectogon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid, animation |
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Konstruktion
Das regelmäßige 100-Eck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Ein zusätzliches Hilfsmittel zur Dreiteilung beliebiger Winkel reicht ebenfalls nicht aus. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in gleich große Winkel erlaubt, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, sind aber in der einschlägigen Literatur nicht erwähnt.
Vorüberlegungen
- Um von einem regelmäßigen 100-Eck den Zentriwinkel
mithilfe der Quadratrix des Hippias zu finden, ist zuerst eine sogenannte Hilfsstrecke zu konstruieren, deren Gesamtlänge
gleich langer Teile entspricht, aber die Abschnitte aus den Radien
und
(Summe
) zusammengesetzt sind.
- Der Zentriwinkel des 100-Ecks ergibt sich aus
aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab
bis
in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Hundertstel der Strecke
kann nur ein Hundertstel des Winkels
erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels
aus dem Umkreis mit seinen
das Vierfache eines Hundertstel, d. h. der Teilungspunkt
der Strecke
zur Konstruktion des Zentriwinkels
genutzt.
- Es ist nicht erforderlich die Strecke
in
einzelne, gleich lange Teile zu unterteilen, denn man benötigt davon nur die Länge von
Teilen. Des Weiteren ist es bei einer sehr hohe Anzahl der Teilungen (sehr kleine Zirkelöffnung für z. B.
Teil) vorteilhaft, den Durchmesser des Umkreises als Summe von
gleich langen Teilen festzulegen. Aufgrund dessen wird im Folgenden die sogenannte Hilfsstrecke nur aus
Radien – Vielfaches eines Hundertstel – zusammengesetzt.
Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
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Nach dem Zeichen des Kreises um dessen Mittelpunkt und des Quadrates
, z. B. mit der Seitenlänge
, erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung
:[1][2]
mit
Es geht weiter mit dem Einzeichnen des Durchmessers sowie einer Geraden durch den Winkelscheitel
mit beliebiger Winkelweite (vorteilhaft ca. 15°– 30°) zum Durchmesser. Nun nimmt man einen geschätzten Radius in den Zirkel der mind. 50-mal auf der Geraden ab dem Punkt
Platz hat und bestimmt damit um
die Schnittpunkte
und
Es folgt die Festlegung der sogenannten Hilfsstrecke mit den Radien (z. B.
um Schnittpunkt
und
jeweils um den zuvor erzeugten Schnittpunkt. Die damit erzeugten Schnittpunkte sind
und
Nach dem Verbinden des Punktes
mit
wird die Hilfsstrecke
in
halbiert und Punkt
mit
verbunden. Die Strecke
(entspricht
gleich langen Teilen der Hilfsstrecke
) ab
abgetragen ergibt den Schnittpunkt
Eine sich daran anschließende Parallele zu
ab Punkt
bringt, da sich die Streckenteilung auf dem Durchmesser bezieht, den Teilungspunkt
auf der Strecke
Nach dem Einzeichnen einer Parallelen zu
ab den Teilungspunkt
bis zur Kurve der Quadratrix des Hippias, ergibt sich der Schnittpunkt
. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel
durch
bis zum Umkreis. Somit ergibt sich der Zentriwinkel
und auf dem Umkreis neben dem ersten Eckpunkt
der zweite
Die Länge der Strecke
ist die exakte Seitenlänge
des regelmäßigen 100-Ecks.
Nach dem Abtragen der noch fehlenden Seitenlängen auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das 100-Eck
fertiggestellt.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug Google), abgerufen am 23. März 2018
- ↑ Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme, ab Seite 279, abgerufen am 23. März 2018
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