User:Kmhkmh/sandbox7

Die sechs Schnittpunkte $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}$ der Antiparallelen durch den Lemoine-Punkt mit den Dreiecksseiten liegen einem gemeinsamen Kreis, dem Kosinus-Kreis

The Cosine circle or second Lemoine circle

Der Kosinus-Kreis oder zweite Lemoinesche Kreis (nach Émile Lemoine (1840–1912)) eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie.

Definition

For each triangle side the antiparallel to it through the Lemoine point intersects the other two triangle sides. This yields six points on intersection. These six point lie on a common circle, which is called the Cosine circle or second Lemoine circle of the triangle.

Properties

Der Mittelpunkt des Kosinus-Kreises ist der Lemoinepunkt und sein Radius kann wie folgt berechnet werden:

$r_{K}=R\tan(\omega )={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Hierbei sind $a,b,c$ die Seiten und $\omega$ der Brocard-Winkel des Dreiecks sowie $R$ der Radius seines Umkreises.

Die beiden von den Schnittpunkten gebildeten Dreiecke $\triangle P_{a}P_{b}P_{c}$ und $\triangle Q_{a}Q_{a}Q_{c}$ sind kongruent und punktsymmetrisch zum Mittelpunkt des Kosinus-Kreises.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 272 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• G. Wotherspoon: The Radii of the Cosine and Lemoine Circles In: The Mathematical Gazette, Band 14, Nr. 199 (März, 1929), S. (JSTOR)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 42–52
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)

External links

• Weisstein, Eric W. "Cosine circle". MathWorld.
• Wolfgang Ströher: Dreiecksgeometrie, Skript, TU Wien, S. 90–93

The Cosine circle

Antiparallel lines

External links

• Weisstein, Eric W. "Cosine Circle". MathWorld.
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 271–274 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).