Wikipedia:Templates_for_discussion/Log/2020_June_27Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною
. Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями
. Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації
, які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при
, утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як
, а другий - як
, то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню
параметризації:
.
Нехай параметр
є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по
, поклавши його рівним нулю. Тоді
і, приймаючи позначення
, можна отримати
.
У околі
похідна матриці представлення
по часу відповідає
. Тоді
.
Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по
, поклавши при цьому
, то, аналогічно, у околі
буде справедлива рівність
.
Наведені рівності означають, що
. Це означає, що розв'язок рівняння
в околі нуля може бути записаний у вигляді
.
Дійсно, оскільки в силу того, що із
слідує
,
Доведення.
|
Дійсно,
![{\displaystyle =\sum _{n}c_{n}((n-1)\alpha \mathbf {X} ^{n}+(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )\mathbf {X} ^{n-1}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\alpha \sum _{n}c_{n}n\mathbf {X} ^{n-1}=\alpha f'(\mathbf {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a8a2b368ebc159cce7df6241c6e7b2dd978dc4) .
|
а комутатор
(використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен
(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора"
локальних координат), то
. Тому якщо із
було б отримано, що
, то розв'язок не можна було б представити у формі
.
Завершуючи розділ, можна визначити зміст
. Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої
групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису
. Сума
завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра
.