Группа |
Задание |
Пояснения
|
Свободная группа на S |
|
Свободная группа «свободна» в том смысле, что она не ограничивается никакими соотношениями.
|
Zn — циклическая группа порядка n
|
|
|
Dn — группа диэдра порядка 2n
|
![{\displaystyle \langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9d5b84d696aa38da38b567580a473a8e1aa95c)
или
|
r обозначает поворот, s — симметрию
|
D∞ — бесконечная диэдральная группа
|
|
|
Группа кватернионов Q8
|
![{\displaystyle \langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7807d72c5748dfad18f25e1927bf281af66bf83)
или
|
|
Обобщённая группа кватернионов Q4n
|
|
|
свободная абелева группа на S
|
|
R — множество всех коммутаторов элементов S
|
Симметрическая группа Sn
|
![{\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56258d66d2789da3d0a4604e9a3cda454b4af59d)
или
|
σi — транспозиция, меняющая местами i-й элемент с i+1-м.
|
Группа кос Bn
|
![{\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baff7189fa00cfb48721f57477d9235b0796ef3d)
|
Единственное отличие от симметрической группы — исчезновение соотношений .
|
Знакопеременная группа An
|
|
|
Группа вращений тетраэдра, T ≅ A4
|
|
|
Группа вращений октаэдра, O ≅ S4
|
|
|
Группа вращений икосаэдра, I ≅ A5
|
|
|
Группа Коксетера
|
|
rn — отражения в гранях многогранника, и при , — если грани не образуют двугранного угла в многограннике
|
Группа треугольника Δ(l,m,n)
|
|
a, b, c — отражения
|
Z × Z
|
|
|
Z/mZ × Z/nZ
|
|
|
SL(2, Z)
|
|
|
GL(2, Z)
|
|
|
Модулярная группа PSL(2, Z)
|
|
PSL(2, Z) — свободное произведение Z/2Z и Z/3Z
|
Группа Титса F4(2)
|
|
[a, b] — коммутатор
|